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ALGEBRA
  Datos Materia
 

Carrera: PM - PROFESORADO EN MATEMATICA

Asignatura: PM006 - ALGEBRA

Plan de estudios: [PM]2005(2)

Curso: 1

Numero de Asignatura: 0

Departamento: ()Ver

Modo Cursado: anual

Horas Semanales: 6 - [ Ver Horario ]


Correlativas


CUERPO DOCENTE

DI BARBARO, Emma Miryam - Cargo: 1.PROFESOR TITULAR
GALINDEZ, Marcela Alejandra - Cargo: 4.JEFE DE TRABAJOS PRACTICOS
PERALTA, Rolando Javier - Cargo: 5.AYUDANTE DIPLOMADO

 

Objetivos:

  • Demostrar las distintas propiedades de los conjuntos.
  • Representar relaciones finitas de equivalencia y de orden.
  • Clasificar analíticamente funciones.
  • Aprenda, relacione y transfiera los conceptos básicos de las leyes de composición y sus propiedades.
  • Interprete homomorfismos entre conjuntos y aprenda su clasificación.
  • Identifique y reconozca las estructuras de grupo, anillo, cuerpo, cuando tales estructuras existan.
  • Analizar la presentación axiomática de los números reales.
  • Demostrar por inducción matemática las propiedades de los números naturales.
  • Adquirir destreza en la resolución de los problemas de conteo.
  • Reconocer la importancia del algoritmo de m.c.d.
  • Resolver la ecuación lineal de congruencia.·Definir el conjunto de los números racionales.
  • Reconozca los anillos de polinomios y sus propiedades.

 

Programa Analítico:

  • Programa de Contenidos teóricos

 

Unidad N º 1: Notación conjuntista. Relaciones.

Álgebra de conjuntos. Relaciones binarias. Dominio e imagen de una relación. Representación gráfica. Relación inversa. Composición de relaciones. Relaciones en un conjunto. Propiedades. Tipos de relaciones. Partición de un conjunto no vacío. Relaciones de equivalencia. Clases de equivalencia. Conjunto de índices. Conjunto cociente.  Teorema fundamental de las relaciones de equivalencia definidas en un conjunto no vacío. Partición y relación de equivalencia. Relaciones de orden. Orden parcial y total.  Buena ordenación. Diagrama de Hasse. Elementos distinguidos de un conjunto ordenado: primero y último elemento, elemento minimales y maximales. Cotas inferiores y superiores. Supremo e ínfimo.

Unidad N º 2: Funciones

Relaciones funcionales. Clasificación de funciones: inyectiva, sobreyectiva y biyectiva.  Composición de funciones. Composición de funciones inyectivas, sobreyectivas y biyectivas. Imágenes de subconjuntos del dominio. Propiedades de la imagen. Función inversa. Definición y propiedades. Imágenes inversas de subconjuntos del codominio. Propiedades de la preimagen. Restricción y extensión de una función.

Unidad Nº 3: Leyes de composición. Homomorfismos. Estructuras algebraicas básicas

Ley de composición interna. Propiedades de las leyes de composición interna: estabilidad respecto de una relación de equivalencia, asociatividad, conmutatividad, distributividad, simplificación o cancelación.  Elementos distinguidos de las leyes de composición interna: neutro, simétrico y regular. Homomorfismos entre conjuntos. Homomorfismos especiales. Teorema fundamental de compatibilidad.  Leyes de composición externa. Propiedades: distributividad y asociatividad. Definición de estructuras algebraicas. Estructuras algebraicas básicas. Estructura de grupo. Definición. Ejemplos. Propiedades básicas. Subgrupos. Estructura de anillo. Definición. Ejemplos. Clasificación. Subanillos. Estructura de cuerpo. Definición. Ejemplos.

 

Unidad N º 4: Los números reales. Propiedades de cuerpo ordenado. Los números naturales.

Los números reales como un cuerpo ordenado. Teoremas. Propiedad cancelativa. Algunas propiedades válidas en los reales. El orden de los reales. Valor absoluto en los reales. Propiedades. Conjunto inductivo. El conjunto de los números naturales. Propiedades. Principio de inducción. Criterio de demostración por inducción. El conjunto de los números naturales como conjunto aditivo y multiplicativo. Teorema de la posibilidad de la resta en los naturales. Intervalo natural. Fórmulas generales para ciertas sumas. Potencia natural de los números reales. Conjunto bien ordenado.

Unidad N º 5: Conteo y grafos.

Las reglas de la suma y el producto. Factorial de un número natural. Permutaciones. Permutaciones circulares. Variaciones o arreglos. Combinaciones. Número combinatorio. Triángulo de Pascal. Binomio de Newtom. Permutaciones con repetición. Grafo, grafo dirigido, definición y ejemplos. Grados de los vértices de un grafo, propiedad. Caminos, Definición y clasificación. Representación matricial de grafos.

Unidad N º 6: Números enteros. Divisibilidad.

El conjunto de los números enteros. Propiedades. Estabilidad del conjunto de los números enteros

para la suma y el producto. Propiedades. El anillo de los enteros. El conjunto de los números enteros como un conjunto no bien ordenado. Divisibilidad de los enteros. Definición de divisores y de múltiplos. Consecuencias de la definición. Divisores impropios. Propiedades de número primo. Teorema de la existencia de infinitos primos en el conjunto de los números enteros.

Unidad N º 7: Algoritmo de la división entera. Aplicaciones.

Teorema sobre la existencia del algoritmo de la división en los enteros. Corolario. Ejemplos. Máximo común divisor. Algoritmo de Euclides. Ecuaciones diofánticas. Definición y teoremas. Mínimo común múltiplo. El teorema fundamental de la aritmética o de factorización única.

Unidad Nº 8: Congruencia. Números racionales. Completitud de los reales. Encaje de intervalos.

Congruencia en los enteros. Definición. La congruencia como una relación de equivalencia en el conjunto de los números enteros. Ecuación lineal de congruencia. Sistemas de numeración. El conjunto de los números racionales. Propiedades. Axiomas de completitud. Propiedad arquimediana. Densidad de los racionales en los reales. Encaje de intervalos cerrados racionales. Números irracionales.

 

Unidad N º 9: Números complejos. Forma polar.

Los números complejos. Definición. Representación gráfica. Módulo y argumento.  Complejos conjugados. Propiedades de la conjugación.  Operaciones de adición y sustracción entre complejos. Propiedades y representación gráfica. Formula polar de un número complejo. Operaciones de multiplicación y división de números complejos. Representación gráfica. Potenciación de exponente entero. Fórmula de  De Moivre. Radicación de complejos.

Unidad Nº 10: Anillos de polinomios y ecuaciones algebraicas.

Anillos de polinomios. Definición. Polinomios con coeficientes en un cuerpo. Algoritmo de la división. Divisibilidad de polinomios. Propiedades. Polinomio irreducible. Raíces racionales de un polinomio con coeficientes en Z. Ecuaciones algebraicas. Raíces de una ecuación algebraica. Relación entre coeficientes y raíces de una ecuación algebraica.

 

Sistema de Evaluación:

 

Aspecto

Criterio

Instrumento

Peso

Asistencia y participación

-Participación activa en la clase

-Participación en las discusiones

-Participación el los trabajos grupales

Observación y notas del profesor y del JTP

15%

Conceptos de la materia

Dominio de los conocimientos teóricos y sus aplicaciones

Examen practico escrito individual

60%

Realización de prácticos evaluativos

Dominio de la resolución de ejercicios y problemas

Escrito en forma individual

15%

 

Realización de trabajos

Entrega de trabajos de investigación : estructura del trabajo, calidad de la documentación, presentación, originalidad

Trabajo en grupo

10%

 

 

Bibliografía:

Tizas blancas y de colores, pizarra. Filminas y retro-proyector. Apuntes de cada unidad realizado por el docente. Bibliografía.

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