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GEOMETRIA I
  Datos Materia
 

Carrera: PM - PROFESORADO EN MATEMATICA

Asignatura: PM002 - GEOMETRIA I

Plan de estudios: [PM]2005(2)

Curso: 1

Numero de Asignatura: 2

Departamento: (6)MATEMATICA Y ESTADISTICAVer

Modo Cursado: primer cuatrimestre

Horas Semanales: 10 - [ Ver Horario ]


Correlativas


CUERPO DOCENTE

CUROTTO, Maria Margarita - Cargo: 2.PROFESOR ASOCIADO
OLMEDO, Nora del Valle - Cargo: 3.PROFESOR ADJUNTO

 

Objetivos:

-  Iniciarse en el tratamiento algebraico de los conceptos geométricos.

 

- Transferir conocimientos del plano al espacio y del espacio al plano.

 

- Relacionar  conceptos  geométricos y algebraicos interpretándolos en los distintos lenguajes que utiliza la matemática.

 

- Desarrollar  la capacidad de discutir y  analizar contenidos en base a la resolución de problemas.

 

- Reconocer la justificación, la generalización y la demostración como procesos básicos del conocimiento matemático.

 

- Valorar el trabajo cooperativo aceptando las responsabilidades que le competen.

 

- Adquirir habilidades de construcción en el plano y en el espacio.

 

- Valorar los aportes de la asignatura a la carrera elegida.

 

Programa Analítico:

  • Programa de Contenidos teóricos

UNIDAD 1: Conceptos fundamentales: coordenadas, funciones y gráficas.

 

1.            Coordenadas en el plano y en el espacio: ortogonales, oblicuas, polares, esféricas y cilíndricas. Representación gráfica de funciones en distintos sistemas de coordenadas.

2.            Trazado de curvas en coordenadas polares.

3.            Ecuaciones y conjuntos de puntos en el plano y en el espacio. Lugar geométrico. Ecuaciones de conjuntos de puntos elementales en el plano y en el espacio: ejes, rectas y planos coordenados. Distancia entre dos puntos.

4.            Relaciones elementales entre propiedades geométricas de las figuras y propiedades algebraicas de las ecuaciones: simetrías en el plano y en el espacio.

 

Cuestiones inherentes al estudio de la matemática como sistema axiomático formal y desde lo metodológico

Desarrollo de notación y vocabulario

Descripción de procedimientos y resultados.

Primeras demostraciones de teoremas, condiciones necesaria y suficiente. Justificación de las aplicaciones de propiedades y definiciones. Demostraciones por similitud con otras dadas.

Representación gráfica de puntos y funciones de una variable en coordenadas cartesianas (ortogonales y oblicuas) y polares en el plano.

Representación de puntos en sistemas esférico, cilíndrico y cartesiano ortogonal en el espacio. Visualizaciones de las proyecciones de puntos en los planos coordenados.

Relacionar propiedades geométricas con ecuaciones algebraicas elementales en el plano y en el espacio.

El nudo es la iniciación a la demostración

 

UNIDAD 2: Vectores. Iniciación al álgebra vectorial.

 

1.            Vectores aplicados. Vectores libres. Operaciones fundamentales: suma, diferencia y producto por un número real. Propiedades. Combinación lineal de vectores. Definición de espacio vectorial.

2.            Vectores en coordenadas en el plano y en el espacio. Módulo de un vector. Proyección de un vector sobre un eje. Ángulos directores y cosenos directores. Componentes de un vector.

3.            Producto escalar de dos vectores. Definición. Propiedades. Significado geométrico en el plano y en el espacio. Condición de ortogonalidad. Módulo o norma de un vector en coordenadas. Versores en R2 y R3. Desigualdad de Schwarz  y Propiedad Triangular.

4.            Producto vectorial. Módulo, dirección y sentido. Propiedades. Área del paralelogramo. Producto mixto. Interpretación geométrica del producto mixto: volumen del tetraedro. Condición de coplanaridad de dos vectores.

 

Cuestiones inherentes al estudio de la matemática como sistema axiomático formal y desde lo metodológico

Desarrollo de notación y vocabulario. Descripción de procedimientos y resultados.

Demostraciones de propiedades de las operaciones con vectores, condiciones necesaria y suficiente, justificación de las aplicaciones de definiciones y otras propiedades.

Distinción entre las propiedades de los vectores libres y los aplicados, análisis de las posibilidades operatorias de cada conjunto.

Relaciones entre las propiedades de las operaciones con vectores y con números reales en vistas a la definición de espacio vectorial.

Interpretaciones geométricas de los productos tratados, relaciones entre los lenguajes gráfico, coloquial y algebraico.

Utilización de textos diversos para la búsqueda de demostraciones, comparar notaciones y complementar el vocabulario matemático.

El nudo es la justificación de los procedimientos para realizar demostraciones de propiedades

 

UNIDAD 3: La recta y el plano. Ángulos y distancias.

 

1.            Ecuaciones vectoriales y cartesianas de un conjunto. Ecuaciones de una recta: vectorial y paramétrica en el plano y en el espacio. Ecuación de la recta en función de los cosenos directores ó de un vector paralelo a ella. Distintas formas de ecuaciones de la recta. Paralelismo, intersección, perpendicularidad en el plano y en el espacio. Ángulo y pendiente de una recta.

2.            Ecuaciones vectorial y paramétrica del plano. Determinación de planos: distintos casos. Ecuación normal, implícita y segmentaria. Haces de rectas y planos.

3.            Distancia de un punto a una recta del plano y del espacio.  Distancia de un punto a un plano. Distancia entre dos rectas. Distancia entre dos rectas alabeadas.

4.            Rectas bisectrices y planos bisectores. Ángulo entre dos rectas del plano. Ángulo entre dos planos. Ángulo entre recta y plano. Ángulo entre rectas del espacio. Condiciones de paralelismo y perpendicularidad.

 

Cuestiones inherentes al estudio de la matemática como sistema axiomático formal y desde lo metodológico

Distinciones entre las ecuaciones vectoriales, paramétricas y cartesianas, implicancias gráficas y simbólicas.

Datos necesarios para determinar rectas, planos, distancias y ángulos.

Relaciones de paralelismo y perpendicularidad basadas en propiedades vectoriales.

Visualización del plano desde el espacio: ecuaciones de planos y rectas, las relaciones entre los lenguajes gráfico y algebraico.

Justificaciones de las resoluciones de problemas en base a las definiciones y propiedades tratadas. El nudo está puesto en la relación teoría – práctica.

 

UNIDAD 4: Cónicas.

 

1.            Ecuaciones paramétricas de una curva en el plano. Circunferencia. Ecuación general, polar y paramétrica. Determinación de circunferencias.

2.            Las cónicas. Ecuaciones de la Elipse y la Hipérbola. Elementos, propiedades deducidas de las ecuaciones. Excentricidad. Asíntotas de la hipérbola.

3.            Ecuación de la Parábola. Elementos, propiedades deducidas de su ecuación.

4.            Ecuaciones de las cónicas cuyo centro o vértice no coincide con el origen de coordenadas.

5.            Ecuaciones paramétricas de las cónicas.  Ecuaciones de las cónicas en coordenadas polares.

 

Cuestiones inherentes al estudio de la matemática como sistema axiomático formal y desde lo metodológico

Determinación de ecuaciones de las cónicas cartesianas, paramétricas y en coordenadas polares.

Identificación y justificación de las variaciones en las construcciones gráficas de acuerdo a los parámetros de las ecuaciones.

Construcciones gráficas con programas disciplinares.

Utilización de lenguajes gráficos y algebraicos con diferentes conceptualizaciones: analíticas, vectoriales.

El nudo está puesto en las construcciones desde la visualización que provee lo vectorial - algebraico.

 

UNIDAD 5: Cuádricas y superficies de revolución. Ecuación general  de segundo grado en dos y tres variables.

 

1.            Ecuaciones paramétricas de una curva en el espacio. Ecuaciones paramétricas de una superficie. Ecuación general y paramétrica de la esfera.

2.            Superficies regladas. Superficies cónicas y cilíndricas. Cilindro recto. Cono con vértice en el origen de coordenadas. Superficies de revolución.

3.            Las cuádricas: Elipsoide. Hiperboloide de una hoja. Hiperboloide de dos hojas. Paraboloide elíptico. Paraboloide hiperbólico. Definición y propiedades de cada una de ellas.

 

Cuestiones inherentes al estudio de la matemática como sistema axiomático formal y desde lo metodológico

Reconocimiento de las condiciones geométricas que determinan las superficies que se tratan

Visualización del plano desde el espacio integrando los lenguajes matemáticos.

Gráficas reales versus imaginarias y sus consecuencias en el análisis teórico – práctico.

Demostración de propiedades de las superficies vistas, su evaluación en casos particulares.

Integración de los conceptos de ecuaciones vectoriales para la geometría del espacio y del plano (intención de generalizar luego al espacio de n-uplas)

 

  • Programa de Contenidos prácticos (guía de trabajos prácticos)

 

Trabajo práctico Nº 1: Coordenadas en el plano y en el espacio, ecuaciones y sus representaciones.

Profundización: Descripción de procedimientos y resultados, iniciación a la demostración.

 

Trabajo práctico Nº 2: Operaciones con vectores, relaciones geométrico algebraicas.

Profundización: Relaciones entre las propiedades de las operaciones con vectores y con números reales en vistas a la definición de espacio vectorial, justificación de los procedimientos para realizar demostraciones de propiedades

 

Trabajo práctico Nº 3: Posiciones relativas entre rectas y planos. Cálculos de ángulos y distancias.

Profundización: Distinciones entre las ecuaciones vectoriales, paramétricas y cartesianas, implicancias gráficas y simbólicas, justificaciones de las resoluciones de problemas en base a las definiciones y propiedades tratadas.

 

Trabajo práctico Nº 4: Ecuaciones de cónicas, sistema cartesiano y polar.

Profundización: Identificación y justificación de las variaciones en las construcciones gráficas de acuerdo a los parámetros de las ecuaciones, construcciones desde la visualización que provee lo vectorial - algebraico.

 

Trabajo práctico Nº 5: Ecuaciones de segundo grado en el espacio: obtención, representación gráfica, propiedades.

Profundización: Visualización del plano desde el espacio integrando los lenguajes matemáticos, gráficas reales versus imaginarias y sus consecuencias en el análisis teórico – práctico.

 

Sistema de Evaluación:

 

Aspecto

Criterio

Instrumento

Peso

Asistencia

Presencia constante

Lista de asistencia

5%

 

Participación

Cumplimiento de tareas de clase.

Entrega de trabajos prácticos en tiempo y forma.

 

Lista de control.

7% entrega TP

8% cumplimiento tareas en clase

Conceptos de la materia

- Conocimiento de definiciones, teoremas, fórmulas solicitadas según los contenidos del programa.

- Utilización de definiciones y teoremas en la justificación de las resoluciones de problemas.

- Traducciones de lenguajes acordes a las necesidades de los problemas y ejercitaciones planteadas.

- Simbolizaciones adecuadas en las expresiones analíticas y gráficas.

- Utilización de escalas en los distintos sistemas de representación.

 

Pruebas escritas

como parciales y trabajos prácticos individuales y grupales con ejercicios y preguntas teóricas

65% parciales

 

 

15% trabajos prácticos especiales

 

Bibliografía:

lOS ALUMNOS TENDRÁN A DISPOSICIÓN UN SOFTWARE GRAFICADOR PARA RESOLVER PROBLEMAS Y EJERCICIOS QUE SE PROPONGAN

Bibliografía Básica:

 

-       Albino de Sunkel, M. H. Geometría analítica en forma vectorial y matricial. Nueva librería. Buenos Aires. 1984

-       Curotto, María M. Geometría Analítica: relaciones geométrico algebraicas. Ed. Sarquís, Catamarca. 2008.

-       Fuller, G. y Tarwater, D. Geometría Analítica. Addison-Wesley Iberoamericana, México. 2002

 

Bibliografía complementaria:

 

¨       Fleming, W. Y Varberg, D. Álgebra y trigonometría con Geometría Analítica. Addison Wesley iberoamericana. México, 1991

Capítulo 9: Vectores Capítulo 13: Cónicas

 

¨       Goodman, A. W. 1998 Geometría Analítica y Cálculo. UTHEA. México.

Capítulo 14: Coordenadas polares

Capítulo 17: Vectores y geometría analítica del espacio

 

¨       Leithold, Louis. El cálculo con Geometría Analítica Grupo Mexicano MAPASA, S. A. de C. V. México, 1998

Capítulo 10: Cónicas y coordenadas polares

Capítulo 14: Vectores en el plano y ecuaciones paramétricas.

Capítulo 15: Vectores y geometría analítica del espacio.

 

¨       Murdoch, D.C. Geometría analítica con vectores y matrices. Editorial Limusa, México, 1977.

 

¨       Santaló, Luis. Vectores y tensores con sus aplicaciones. EUDEBA, Bs. As., 13a.  edición 1985.

 

¨       Swokowski, Earl. Cálculo con Geometría Analítica. Grupo editorial Iberoamérica. México, 2000

Capítulo 14: Temas selectos de Geometría Analítica: Cónicas.

Capítulo 13: Curvas planas y coordenadas polares.

Capítulo 14: Vectores y superficies.

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